8) В правильной треугольной пирамиде SABС медианы основания АВС пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 2, объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка OS.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде медианы основания являются также высотами и биссектрисами. Точка пересечения медиан \( O \) является центром вписанной и описанной окружностей треугольника \( ABC \).

Объём пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

Из условия нам дано:

• Площадь основания \( S_{ABC} = 2 \).
• Объём пирамиды \( V = 5 \).

Найдем высоту пирамиды \( h = SO \):

\[ 5 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot h \]

\( 15 = 2h \)

\[ h = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Теперь нам нужно найти длину отрезка \( OS \). В данном случае \( OS \) — это и есть высота пирамиды, так как \( S \) — вершина пирамиды, а \( O \) — центр основания (точка пересечения медиан).

Значит, \( OS = h = 7.5 \).

Ответ: 7.5