12) Решите уравнение x + 3√x + 2 = 0.

Решение:

Это иррациональное уравнение. Сделаем замену переменной, чтобы упростить его.

Пусть \( y = \sqrt{x} \). Тогда \( x = y^2 \). Учитывая, что \( \sqrt{x} \) определен только для \( x \geq 0 \), следовательно \( y \geq 0 \).

Подставим в уравнение:

\[ y^2 + 3y + 2 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его:

Дискриминант \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).

Корни \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3+1}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3-1}{2} = -2 \).

Теперь вернемся к замене \( y = \sqrt{x} \). Мы получили значения \( y = -1 \) и \( y = -2 \).

Однако, по условию \( y = \sqrt{x} \) должно быть неотрицательным \( y \geq 0 \).

Ни \( y = -1 \), ни \( y = -2 \) не удовлетворяют этому условию.

Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней