8. Прямая \( a \) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \( C \), и образует с плоскостью угол 60°, \( A \) — точка на прямой \( a \), точка \( B \) — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость \(\beta\) из точки \( A \). \( AC = 10 \), найдите \( CB \).

Решение:

Задача описывает прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( \angle ABC = 90° \).

\( AC \) — это гипотенуза, \( AB \) — перпендикуляр, \( CB \) — проекция гипотенузы на плоскость.

Угол между прямой \( a \) (которой принадлежит \( AC \)) и плоскостью \(\beta\) — это угол \( \angle ACB \), который равен 60°.

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) для нахождения \( CB \) (прилежащего катета) через гипотенузу \( AC \) и угол \( \angle ACB \) используем косинус:

\( \cos(\angle ACB) = \frac{CB}{AC} \)

\( CB = AC \cdot \cos(\angle ACB) \)

Подставим известные значения:

\( CB = 10 \cdot \cos(60°) \)

Значение \( \cos(60°) = 0.5 \).

\( CB = 10 \cdot 0.5 = 5 \)

Ответ: 5