5. Упростите выражение (sin x + cos x)² - 1 - 2 sin x cos x

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение.

\( (\sin x + \cos x)^2 - 1 - 2 \sin x \cos x \)

Вспомним формулу квадрата суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Применим её к первой части выражения:

\( (\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x) - 1 - 2 \sin x \cos x \)

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

\( (1 + 2 \sin x \cos x) - 1 - 2 \sin x \cos x \)

Раскроем скобки:

\( 1 + 2 \sin x \cos x - 1 - 2 \sin x \cos x \)

Сократим подобные слагаемые:

\( (1 - 1) + (2 \sin x \cos x - 2 \sin x \cos x) = 0 \)

Ответ: 0