8. Площадь сечения шара плоскостью, проведенной на расстоянии 6 см от центра, равна 64π см². Найти объем шара.

Решение:

1. Площадь сечения шара плоскостью — это круг. Пусть \( R \) — радиус шара, \( r \) — радиус сечения, \( d \) — расстояние от центра шара до плоскости.


2. По условию, \( d = 6 \) см, площадь сечения \( S_{сеч} = 64\pi \) см².


3. Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi r^2 \).



\[ \pi r^2 = 64\pi \]


\[ r^2 = 64 \]


\[ r = 8 \) см.



4. Связь между радиусом шара \( R \), радиусом сечения \( r \) и расстоянием \( d \) задаётся теоремой Пифагора: \( R^2 = r^2 + d^2 \).



\[ R^2 = 8^2 + 6^2 \]


\[ R^2 = 64 + 36 \]


\[ R^2 = 100 \]


\[ R = 10 \) см.



5. Объём шара вычисляется по формуле \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \).



\[ V = \frac{4}{3}\pi (10)^3 \]


\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000 \]


\[ V = \(\frac{4000\pi}{3}\) \) см³.

Ответ: \( \frac{4000\pi}{3} \) см³.