3. Решить неравенство: \(\left(\frac{1}{25}\right)^{2-x} < 125^{x+1}\)

Решение:

1. Приведём обе части неравенства к одному основанию. Удобно взять основание 5.
2. \(\left(\frac{1}{5^2}\right)^{2-x} < (5^3)^{x+1}\)
3. \((5^{-2})^{2-x} < 5^{3(x+1)}\)
4. \(5^{-2(2-x)} < 5^{3x+3}\)
5. \(5^{-4+2x} < 5^{3x+3}\)
6. Так как основание степени \(5 > 1\), показатели степеней сравниваем в том же направлении: \(-4 + 2x < 3x + 3\).
7. Перенесём члены с \(x\) в одну сторону, а числа — в другую: \(2x - 3x < 3 + 4\).
8. \(-x < 7\).
9. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: \(x > -7\).

Ответ: x > -7.