5. Решить уравнение: \(3^x - 2 \cdot 3^{x-2} - 63 = 0\)

Решение:

1. Представим \(3^{x-2}\) как \(3^x \cdot 3^{-2}\) или \(\frac{3^x}{9}\).
2. Уравнение примет вид: \(3^x - 2 \cdot \frac{3^x}{9} - 63 = 0\).
3. Введём замену: пусть \(y = 3^x\). Тогда уравнение станет: \(y - \frac{2y}{9} - 63 = 0\).
4. Умножим всё на 9, чтобы избавиться от дроби: \(9y - 2y - 63 \cdot 9 = 0\).
5. \(7y - 567 = 0\).
6. \(7y = 567\).
7. \(y = \frac{567}{7}\).
8. \(y = 81\).
9. Теперь вернёмся к замене: \(3^x = 81\).
10. Так как \(81 = 3^4\), то \(3^x = 3^4\).
11. Следовательно, \(x = 4\).

Ответ: x = 4.