6. Вычислите интеграл: \(\int_{-1}^{1} 2x^3 dx\)

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \(f(x) = 2x^3\). Первообразная \(F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}\).
2. Вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\).
3. \(\int_{-1}^{1} 2x^3 dx = F(1) - F(-1)\).
4. \(F(1) = \frac{1^4}{2} = \frac{1}{2}\).
5. \(F(-1) = \frac{(-1)^4}{2} = \frac{1}{2}\).
6. \(\int_{-1}^{1} 2x^3 dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\).

Ответ: 0.