9. Угол при вершине осевого сечения конуса 60°. Образующая конуса 6 см. Найти объем конуса.

Решение:

1. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Угол при вершине этого треугольника равен 60°.
2. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны \(\frac{180° - 60°}{2} = \frac{120°}{2} = 60°\).
3. Следовательно, осевое сечение — это равносторонний треугольник.
4. Образующая конуса \(l\) является стороной этого треугольника, \(l = 6\) см.
5. Высота конуса \(h\) является высотой равностороннего треугольника. Она равна \(h = l \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) см.
6. Радиус основания конуса \(r\) равен половине стороны равностороннего треугольника: \(r = \frac{l}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.
7. Объём конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
8. Подставим значения \(r\) и \(h\): \(V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (3\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = \pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi\) см³.

Ответ: \(9\sqrt{3}\pi\) см³.