7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = x^4 - 2x^2 \) на отрезке \([-2; 1]\)

Решение:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = 4x^3 - 4x \).


2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:



\[ 4x^3 - 4x = 0 \]


\[ 4x(x^2 - 1) = 0 \]


\[ 4x(x-1)(x+1) = 0 \]


Критические точки: \( x = 0, x = 1, x = -1 \).



3. Вычислим значения функции в критических точках, попадающих в отрезок \([-2; 1]\), и на концах отрезка:




• \( f(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 = 16 - 2(4) = 16 - 8 = 8 \)


• \( f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1 \)


• \( f(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0 \)


• \( f(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 \)




4. Сравним полученные значения:




• Наибольшее значение: \( 8 \) (при \( x = -2 \))


• Наименьшее значение: \( -1 \) (при \( x = -1 \) и \( x = 1 \))

Ответ: Наибольшее значение = 8, наименьшее значение = -1.