8 Определите, пересекает ли график функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 10 \) ось х, и если пересекает, то в каких точках.

Решение:

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось \( x \), нужно найти значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \).

\( x^3 - 2x^2 + 5x - 10 = 0 \).

Попробуем сгруппировать члены:

\( (x^3 - 2x^2) + (5x - 10) = 0 \).

Вынесем общий множитель из каждой группы:

\( x^2(x - 2) + 5(x - 2) = 0 \).

Теперь вынесем общий множитель \( (x - 2) \):

\( (x - 2)(x^2 + 5) = 0 \).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. \( x - 2 = 0 \) \( \Rightarrow x = 2 \).

2. \( x^2 + 5 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 = -5 \).

Уравнение \( x^2 = -5 \) не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, единственное действительное решение — \( x = 2 \).

График функции пересекает ось \( x \) в точке, где \( x = 2 \).

Ответ: График функции пересекает ось х в точке (2; 0).