7 Докажите тождество \( \frac{x(x - y)^2}{x^4 - y^4} + \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x + y} \).

Решение:

Преобразуем левую часть тождества. Сначала разложим знаменатель первой дроби \( x^4 - y^4 \) как разность квадратов:

\( x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) \).

Далее разложим \( x^2 - y^2 \) как разность квадратов:

\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \).

Таким образом, \( x^4 - y^4 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \).

Теперь подставим это в первую дробь:

\( \frac{x(x - y)^2}{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)} \).

Сократим \( (x - y) \) (при \( x
e y \)):

\( \frac{x(x - y)}{(x + y)(x^2 + y^2)} \).

Теперь левая часть тождества выглядит так:

\( \frac{x(x - y)}{(x + y)(x^2 + y^2)} + \frac{y}{x^2 + y^2} \).

Приведём дроби к общему знаменателю \( (x + y)(x^2 + y^2) \):

\( \frac{x(x - y)}{(x + y)(x^2 + y^2)} + \frac{y(x + y)}{(x + y)(x^2 + y^2)} \).

Сложим числители:

\( \frac{x(x - y) + y(x + y)}{(x + y)(x^2 + y^2)} = \frac{x^2 - xy + xy + y^2}{(x + y)(x^2 + y^2)} = \frac{x^2 + y^2}{(x + y)(x^2 + y^2)} \).

Сократим \( (x^2 + y^2) \) (при \( x^2 + y^2
e 0 \), что верно для действительных \( x \) и \( y \), если они не оба равны нулю):

\( \frac{1}{x + y} \).

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.