9 Начиная с какого номера члены арифметической прогрессии: 3; 8; 13; ... больше 150?

Решение:

Дана арифметическая прогрессия: \( 3; 8; 13; \ldots \).

1. Определим первый член прогрессии \( a_1 \) и разность \( d \).

\( a_1 = 3 \).

\( d = a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5 \).

\( d = a_3 - a_2 = 13 - 8 = 5 \).

Разность прогрессии \( d = 5 \).

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
3. Нам нужно найти номер члена \( n \), при котором \( a_n > 150 \).

\[ a_1 + (n-1)d > 150 \]

\[ 3 + (n-1)5 > 150 \]

3. Решим неравенство относительно \( n \):

\[ 5(n-1) > 150 - 3 \]

\[ 5(n-1) > 147 \]

\[ n-1 > \frac{147}{5} \]

\[ n-1 > 29.4 \]

\[ n > 29.4 + 1 \]

\[ n > 30.4 \]

4. Так как номер члена прогрессии \( n \) должен быть целым числом, то наименьшее целое число, большее 30.4, это 31.

Следовательно, начиная с 31-го члена, все последующие члены прогрессии будут больше 150.

Ответ: Начиная с 31-го номера.