1 Решите систему уравнений \( \begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases} \)

Решение:

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 3 - x \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( x^2 + (3 - x)^2 = 29 \).
3. Раскроем скобки: \( x^2 + 9 - 6x + x^2 = 29 \).
4. Приведём подобные слагаемые: \( 2x^2 - 6x + 9 - 29 = 0 \) \( \Rightarrow 2x^2 - 6x - 20 = 0 \).
5. Разделим всё на 2: \( x^2 - 3x - 10 = 0 \).
6. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \). \( \sqrt{D} = 7 \).
7. Найдем корни:
• \( x_1 = \frac{-(-3) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5 \)
• \( x_2 = \frac{-(-3) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2 \)
8. Найдем соответствующие значения \( y \):
• Если \( x_1 = 5 \), то \( y_1 = 3 - 5 = -2 \).
• Если \( x_2 = -2 \), то \( y_2 = 3 - (-2) = 5 \).

Ответ: (5; -2), (-2; 5).