8 Найти производную: f(x)=4tg2x

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 4 \operatorname{tg}(2x) \) используем правило дифференцирования сложной функции.

1. Производная \( \operatorname{tg}(u) \) равна \( \frac{1}{\cos^2(u)} \) или \( 1 + \operatorname{tg}^2(u) \).
2. Производная \( 2x \) по \( x \) равна 2.
3. По правилу дифференцирования сложной функции, \( f'(x) = 4 \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{tg}(2x)) \).
4. \( \frac{d}{dx}(\operatorname{tg}(2x)) = \frac{d}{du}(\operatorname{tg}(u)) \cdot \frac{du}{dx} \), где \( u = 2x \).
5. \( \frac{d}{dx}(\operatorname{tg}(2x)) = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2(2x)} \).
6. Теперь умножим на константу 4: \( f'(x) = 4 \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{8}{\cos^2(2x)} \).
7. Также можно использовать \( 1 + \operatorname{tg}^2(u) \): \( f'(x) = 4 \cdot (1 + \operatorname{tg}^2(2x)) \cdot 2 = 8(1 + \operatorname{tg}^2(2x)) \).

Ответ: \( f'(x) = \frac{8}{\cos^2(2x)} \) или \( f'(x) = 8(1 + \operatorname{tg}^2(2x)) \).