5 Решить уравнение: (5/12)^(2x-3) = 2.4^(2x-3)

Решение:

Для решения уравнения \( \left(\frac{5}{12}\right)^{2x-3} = 2.4^{2x-3} \) рассмотрим два случая.

1. Случай 1: Показатель степени равен нулю.
• Если \( 2x - 3 = 0 \), то \( 2x = 3 \) и \( x = \frac{3}{2} \).
• В этом случае обе части уравнения равны 1, так как любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1. \( \left(\frac{5}{12}\right)^0 = 1 \) и \( 2.4^0 = 1 \).
2. Случай 2: Основания степеней равны.
• Приравняем основания: \( \frac{5}{12} = 2.4 \).
• Переведем 2.4 в обыкновенную дробь: \( 2.4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \).
• Получаем \( \frac{5}{12} = \frac{12}{5} \), что является неверным равенством.
3. Следовательно, единственным решением является случай, когда показатель степени равен нулю.

Ответ: \( x = \frac{3}{2} \).