6 Вычислить: интеграл от x(3-x) dx

Решение:

Чтобы вычислить неопределенный интеграл \( \int x(3-x) dx \), раскроем скобки и проинтегрируем по каждому члену.

1. Раскроем скобки: \( x(3-x) = 3x - x^2 \).
2. Теперь проинтегрируем полученное выражение: \( \int (3x - x^2) dx \).
3. Интегрируем по каждому члену: \( \int 3x dx - \int x^2 dx \).
4. Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):
• \( \int 3x dx = 3 \int x^1 dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2 \).
• \( \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \).
5. Объединим результаты и добавим константу интегрирования \( C \): \( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C \).

Ответ: \( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C \).