8. Найдите значение выражения \( \frac{(a^3)^5 \cdot a^3}{a^{20}} \) при a = 5.

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней:

\[ \frac{(a^3)^5 \cdot a^3}{a^{20}} = \frac{a^{3 \cdot 5} \cdot a^3}{a^{20}} = \frac{a^{15} \cdot a^3}{a^{20}} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ \frac{a^{15+3}}{a^{20}} = \frac{a^{18}}{a^{20}} \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ a^{18-20} = a^{-2} \]

Отрицательный показатель степени означает, что это обратная дробь:

\[ a^{-2} = \frac{1}{a^2} \]

Теперь подставим значение \( a = 5 \):

\[ \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \]

Ответ: 1/25