№ 8. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: \( f(x) = x^3 + x^2 – 5x + 8 \)

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума найдём первую производную функции.

\( f'(x) = (x^3 + x^2 – 5x + 8)' \)
\( f'(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \]\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \]

Критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -\frac{5}{3} \).

Теперь определим знак производной на интервалах:

• При \( x < -\frac{5}{3} \) (например, \( x = -2 \)): \( f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -\frac{5}{3} < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 5 = -5 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 > 0 \). Функция возрастает.

Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на \( \left(-\infty; -\frac{5}{3}\right] \) и \( [1; +\infty) \).
• Функция убывает на \( \left[-\frac{5}{3}; 1\right] \).

Точки экстремума:

• При \( x = -\frac{5}{3} \) происходит смена знака производной с '+' на '-', следовательно, это точка максимума.
• При \( x = 1 \) происходит смена знака производной с '-' на '+', следовательно, это точка минимума.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

\( f\left(-\frac{5}{3}\right) = \left(-\frac{5}{3}\right)^3 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{3}\right) + 8 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} + 8 = \frac{-125 + 75 + 225 + 216}{27} = \frac{391}{27} \)

\( f(1) = 1^3 + 1^2 - 5(1) + 8 = 1 + 1 - 5 + 8 = 5 \)

Ответ: Промежутки возрастания: \( \left(-\infty; -\frac{5}{3}\right] \) и \( [1; +\infty) \). Промежуток убывания: \( \left[-\frac{5}{3}; 1\right] \). Точка максимума: \( x = -\frac{5}{3} \) (значение \( \frac{391}{27} \)). Точка минимума: \( x = 1 \) (значение 5).