№ 7. Решите неравенство: \( \frac{x-3}{4-x} \ge 1 \)

Решение:

Перенесём 1 в левую часть и приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x-3}{4-x} - 1 \ge 0 \]\[ \frac{x-3 - (4-x)}{4-x} \ge 0 \]\[ \frac{x-3 - 4 + x}{4-x} \ge 0 \]\[ \frac{2x-7}{4-x} \ge 0 \]

Метод интервалов:

1. Найдем корни числителя и знаменателя:

\( 2x-7=0 \implies x = \frac{7}{2} \)

\( 4-x=0 \implies x = 4 \)

2. Нанесём корни на числовую прямую:

3. Нам нужно \( \frac{2x-7}{4-x} \ge 0 \), значит, интервал, где выражение положительно, включая корень числителя, но не знаменателя.

\( \frac{7}{2} \le x < 4 \)

Ответ: \( \left[\frac{7}{2}; 4\right) \).