№ 6. Решите уравнение: 3 \(\sin\)^2 x - 5 \(\sin\) x - 8 = 0

Решение:

Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 3y^2 - 5y - 8 = 0 \)

Найдём корни этого квадратного уравнения:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 \]\[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \]\[ y_2 = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \sin x \).

1. \( \sin x = \frac{8}{3} \). Так как \( \frac{8}{3} > 1 \), это уравнение не имеет решений.

2. \( \sin x = -1 \). Решением этого уравнения является \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).