8. Найдите производную функции: y = 6√x + 2sinx

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = 6\sqrt{x} + 2\sin{x} \), применим правила дифференцирования:

1. Производная суммы равна сумме производных: \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \).

2. Производная от константы, умноженной на функцию, равна константе, умноженной на производную функции: \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \).

3. Производная \( \sqrt{x} \) (или \( x^{1/2} \)) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

4. Производная \( \sin{x} \) равна \( \cos{x} \).

Применим эти правила:

\( y' = (6\sqrt{x})' + (2\sin{x})' \).

\( y' = 6 \cdot (\sqrt{x})' + 2 \cdot (\sin{x})' \).

\( y' = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2 \cdot \cos{x} \).

\( y' = \frac{6}{2\sqrt{x}} + 2\cos{x} \).

\( y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 2\cos{x} \).

Ответ: \( y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 2\cos{x} \)