№8. Найдите объём прямой призмы, если в её основании лежит правильный треугольник со стороной 1, а площадь боковой поверхности равна 3.

Решение:

Объём прямой призмы вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( H \) — высота призмы.

1. Найдем площадь основания (правильный треугольник):
2. Сторона правильного треугольника \( a = 1 \).
3. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
4. Подставим значение \( a = 1 \): \( S_{осн} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).
5. Найдем высоту призмы:
6. Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания \( P_{осн} \) на высоту \( H \): \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H \).
7. Периметр правильного треугольника со стороной \( a = 1 \) равен \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 1 = 3 \).
8. Нам дана площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 3 \).
9. Вычислим высоту \( H \): \( 3 = 3 \cdot H \) → \( H = 1 \).
10. Найдем объём призмы:
11. \( V = S_{осн} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \).

Ответ: \( V = \frac{\sqrt{3}}{4} \).