№4. Решите иррациональное уравнение x + √x = 2(x - 1)

Решение:

Перепишем уравнение:

\( x + \sqrt{x} = 2x - 2 \)

\( \sqrt{x} = x - 2 \)

Для решения этого иррационального уравнения, возведём обе части в квадрат:

\( (\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2 \)

\( x = x^2 - 4x + 4 \)

Соберем все члены уравнения в одной стороне:

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)

Теперь проверим найденные корни в исходном уравнении \( \sqrt{x} = x - 2 \), так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.

1. Проверим \( x_1 = 4 \): \( \sqrt{4} = 4 - 2 \) → \( 2 = 2 \). Корень подходит.
2. Проверим \( x_2 = 1 \): \( \sqrt{1} = 1 - 2 \) → \( 1 = -1 \). Неверно. Корень посторонний.

Ответ: \( x = 4 \).