№5. Найдите значение tga, если ctga = - 3 и 3π/2 < α < 2π

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\( \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 \)

Из этого тождества выразим \( \text{tg}\alpha \):

\( \text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} \)

Подставим данное значение \( \text{ctg}\alpha = -3 \):

\( \text{tg}\alpha = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \)

Проверим знак \( \text{tg}\alpha \) в заданном интервале. Условие \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) означает, что угол \( \alpha \) находится в IV четверти. В IV четверти тангенс отрицателен, что соответствует полученному результату.

Ответ: \( \text{tg}\alpha = -\frac{1}{3} \).