8. $$\int (6-3\sin x)dx$$

Привет! Давай разберемся с этим интегралом, где есть константа и тригонометрическая функция.

Решение:

Сначала разобьем интеграл на два по правилу:

• \[ \int (6 - 3\sin x) \, dx = \int 6 \, dx - \int 3\sin x \, dx \]

Вынесем константы:

• \[ = \int 6 \, dx - 3 \int \sin x \, dx \]

Теперь найдем интегралы от каждой части:

1. \[ \int 6 \, dx \]: Интеграл от константы - это сама константа, умноженная на x.

• \[ \int 6 \, dx = 6x \]

2. \[ \int \sin x \, dx \]: Это табличный интеграл. Интеграл от синуса - это минус косинус.

• \[ \int \sin x \, dx = -\cos x \]

Теперь подставляем найденные значения обратно:

• \[ 6x - 3(-\cos x) + C \]

Упрощаем выражение:

• \[ 6x + 3\cos x + C \]

Ответ: $$6x + 3\cos x + C$$