4. $$\int (3x^{-4} + 8x^{-5})dx$$

Привет! Давай разберемся с этим интегралом. Здесь у нас сумма двух степенных функций с отрицательными показателями.

Решение:

Сначала разобьем интеграл на два по свойству линейности:

• \[ \int (3x^{-4} + 8x^{-5}) \, dx = \int 3x^{-4} \, dx + \int 8x^{-5} \, dx \]

Теперь вынесем константы за знаки интегралов:

• \[ = 3 \int x^{-4} \, dx + 8 \int x^{-5} \, dx \]

Далее используем формулу для интеграла от степенной функции \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \].

Для первого интеграла, n = -4:

• \[ 3 \int x^{-4} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -x^{-3} \]

Для второго интеграла, n = -5:

• \[ 8 \int x^{-5} \, dx = 8 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} = 8 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = -2x^{-4} \]

Теперь сложим результаты и добавим константу C:

• \[ -x^{-3} - 2x^{-4} + C \]

Можно также записать ответ, используя положительные степени:

• \[ -\frac{1}{x^3} - \frac{2}{x^4} + C \]

Ответ: $$-x^{-3} - 2x^{-4} + C$$