7. $$\int \frac{x-4}{x^3} dx$$

Привет! Давай разберем этот интеграл. У нас дробь, где в числителе разность, а в знаменателе степень.

Решение:

Сначала упростим дробь, разделив числитель на знаменатель:

• \[ \frac{x-4}{x^3} = \frac{x}{x^3} - \frac{4}{x^3} \]

Теперь можно сократить степени:

• \[ = x^{1-3} - 4x^{-3} = x^{-2} - 4x^{-3} \]

Теперь наш интеграл выглядит так:

• \[ \int (x^{-2} - 4x^{-3}) \, dx \]

Разобьем его на два интеграла:

• \[ \int x^{-2} \, dx - \int 4x^{-3} \, dx \]

Вынесем константу из второго интеграла:

• \[ \int x^{-2} \, dx - 4 \int x^{-3} \, dx \]

Теперь используем формулу для интеграла от степенной функции \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \].

Для первого интеграла, n = -2:

• \[ \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} \]

Для второго интеграла, n = -3:

• \[ 4 \int x^{-3} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = 4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -2x^{-2} \]

Собираем всё вместе, учитывая знак минус между интегралами:

• \[ -x^{-1} - (-2x^{-2}) + C = -x^{-1} + 2x^{-2} + C \]

Можно также записать с положительными степенями:

• \[ -\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + C \]

Ответ: $$-\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + C$$