6. $$\int \frac{(2+x)}{x} dx$$

Привет! Давай решим этот интеграл. У нас в числителе сумма, а в знаменателе переменная.

Решение:

Первым делом, чтобы упростить, мы можем разбить дробь на две:

• \[ \frac{2+x}{x} = \frac{2}{x} + \frac{x}{x} = \frac{2}{x} + 1 \]

Теперь наш интеграл выглядит так:

• \[ \int \left( \frac{2}{x} + 1 \right) dx \]

Дальше мы можем разбить его на два интеграла:

• \[ \int \frac{2}{x} \, dx + \int 1 \, dx \]

Рассмотрим каждый:

1. \[ \int \frac{2}{x} \, dx \]: двойку выносим за знак интеграла. А интеграл от 1/x - это известный логарифм.

• \[ 2 \int \frac{1}{x} \, dx = 2 \ln|x| \]

2. \[ \int 1 \, dx \]: интеграл от константы 1 - это просто x.

• \[ \int 1 \, dx = x \]

Собираем всё вместе и добавляем константу C:

• \[ 2 \ln|x| + x + C \]

Ответ: $$2 \ln|x| + x + C$$