2. $$\int (4-x^5)dx$$

Привет! Давай решать этот интеграл. Здесь у нас разность двух функций, и мы можем взять интеграл от каждой по очереди.

Решение:

Сначала вспоминаем основное свойство интегралов: интеграл от суммы или разности равен сумме или разности интегралов.

• \[ \int (4 - x^5) \, dx = \int 4 \, dx - \int x^5 \, dx \]

Теперь берем каждый интеграл отдельно:

1. Для \[ \int 4 \, dx \]: число 4 - это константа, она просто выносится за знак интеграла. Интеграл от dx (или x^0) - это x. Значит, получаем 4x.

2. Для \[ \int x^5 \, dx \]: используем правило для интеграла от x в степени n: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] В нашем случае n = 5.

• \[ \int x^5 \, dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C \]

Теперь соединяем все вместе, не забывая про знак минус между интегралами и константу C (которая в сумме или разности просто дает одну общую константу C):

• \[ 4x - \frac{x^6}{6} + C \]

Ответ: $$4x - \frac{x^6}{6} + C$$