8. Find the derivative: a) \(3x^2 - x^3\), б) \(4x^2 + 6x + 3\), в) \((3x^2 + 1)(3x^2 - 1)\), г) \(\frac{x}{1+x^2}\)

Решение:

Найдём производные для каждого выражения:

1. а) \( y = 3x^2 - x^3 \)

   Используем правило \( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \) и \( (x^n)' = nx^{n-1} \).

   \[ y' = (3x^2)' - (x^3)' = 3(2x) - 3x^2 = 6x - 3x^2 \]

2. б) \( y = 4x^2 + 6x + 3 \)

   \[ y' = (4x^2)' + (6x)' + (3)' = 4(2x) + 6 + 0 = 8x + 6 \]

3. в) \( y = (3x^2 + 1)(3x^2 - 1) \)

   Сначала упростим выражение, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

   \[ y = (3x^2)^2 - 1^2 = 9x^4 - 1 \]

   Теперь найдём производную:

   \[ y' = (9x^4)' - (1)' = 9(4x^3) - 0 = 36x^3 \]

4. г) \( y = \frac{x}{1+x^2} \)

   Используем правило дифференцирования частного \( (\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \).

   Здесь \( f(x) = x \) и \( g(x) = 1+x^2 \).

   \( f'(x) = 1 \).

   \( g'(x) = (1+x^2)' = 2x \).

   Подставляем:

   \[ y' = \frac{1 · (1+x^2) - x · (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \]

Ответ: а) \( 6x - 3x^2 \); б) \( 8x + 6 \); в) \( 36x^3 \); г) \( \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \)