3. Simplify the expression: \(\frac{1 - \cos^2 4x}{\cos 8x - \cos^2 4x}\)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), откуда \( 1 - \cos^2 4x = \sin^2 4x \).

Исходное выражение принимает вид:

\[ \frac{\sin^2 4x}{\cos 8x - \cos^2 4x} \]

Формула косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).

Отсюда \( \cos 8x = \cos (2 · 4x) = 2 \cos^2 4x - 1 \).

Подставим это в знаменатель:

\[ \cos 8x - \cos^2 4x = (2 \cos^2 4x - 1) - \cos^2 4x = \cos^2 4x - 1 \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x - 1} \]

Заметим, что \( \cos^2 4x - 1 = - (1 - \cos^2 4x) = - \sin^2 4x \).

Тогда:

\[ \frac{\sin^2 4x}{- \sin^2 4x} = -1 \]

Ответ: -1