2. Simplify the expression: \(\frac{\cos 3x - 1}{\sin 6x - 2 \sin 3x}\)

Решение:

Используем формулы:

• Косинус половинного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \), откуда \( \cos 3x - 1 = -2 \sin^2 \frac{3x}{2} \).
• Синус двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). В знаменателе \( \sin 6x = 2 \sin 3x \cos 3x \).

Тогда знаменатель: \( \sin 6x - 2 \sin 3x = 2 \sin 3x \cos 3x - 2 \sin 3x = 2 \sin 3x (\cos 3x - 1) \).

Подставляем в исходное выражение:

\[ \frac{\cos 3x - 1}{2 \sin 3x (\cos 3x - 1)} \]

Сокращаем \( \cos 3x - 1 \) (при условии \( \cos 3x \neq 1 \)):

\[ \frac{1}{2 \sin 3x} \]

Ответ: \( \frac{1}{2 \sin 3x} \)