1. Simplify the expression: \(\frac{\cos 4x}{\sin 8x}\)

Решение:

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

В нашем случае \( \alpha = 4x \), поэтому \( \sin 8x = \sin (2 \cdot 4x) = 2 \sin 4x \cos 4x \).

Подставляем в исходное выражение:

\[ \frac{\cos 4x}{\sin 8x} = \frac{\cos 4x}{2 \sin 4x \cos 4x} \]

Сокращаем \( \cos 4x \) (при условии \( \cos 4x \neq 0 \)):

\[ \frac{1}{2 \sin 4x} \]

Можно также записать как \( \frac{1}{2} \csc 4x \).

Ответ: \( \frac{1}{2 \sin 4x} \)