8. Длина окружности сечения шара плоскостью равна 12π. Расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 8 см. Найти площадь сферы.

Решение:

1. Длина окружности сечения равна \( L = 2 · \pi · r \), где \( r \) — радиус сечения.
2. По условию \( L = 12·\pi \), значит \( 2 · \pi · r = 12·\pi \).
3. Отсюда находим радиус сечения: \( r = \frac{12·\pi}{2·\pi} = 6 \) см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы \( R \), радиусом сечения \( r \) и расстоянием от центра шара до секущей плоскости \( d \). По теореме Пифагора: \( R^2 = r^2 + d^2 \).
5. Подставим известные значения: \( R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
6. Найдём радиус сферы: \( R = \sqrt{100} = 10 \) см.
7. Площадь сферы вычисляется по формуле \( S = 4 · \pi · R^2 \).
8. Подставим значение радиуса сферы: \( S = 4 · \pi · 10^2 = 4 · \pi · 100 = 400·\pi \) см².

Ответ: \( 400·\pi \) см².