6. Вычислите интеграл: \(\int_{-2}^{0} 2x^4 dx\)

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \( f(x) = 2x^4 \). Первообразная \( F(x) = 2 · \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{2}{5} x^5 \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. Подставим пределы интегрирования: \( \int_{-2}^{0} 2x^4 dx = F(0) - F(-2) \).
4. Вычислим значения первообразной: \( F(0) = \frac{2}{5} · 0^5 = 0 \). \( F(-2) = \frac{2}{5} · (-2)^5 = \frac{2}{5} · (-32) = -\frac{64}{5} \).
5. Вычислим значение интеграла: \( 0 - (-\frac{64}{5}) = \frac{64}{5} \).

Ответ: \( \frac{64}{5} \).