4. Решить неравенство: \(\log_{\frac{1}{2}}(2x+5) > -3\)

Решение:

1. Для существования логарифма необходимо, чтобы аргумент был положительным: \( 2x+5 > 0 \) \( 2x > -5 \) \( x > -\frac{5}{2} \).
2. Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: \( 2x+5 < (\frac{1}{2})^{-3} \).
3. Вычислим степень: \( (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8 \).
4. Неравенство примет вид: \( 2x+5 < 8 \).
5. Решим полученное линейное неравенство: \( 2x < 8-5 \) \( 2x < 3 \) \( x < \frac{3}{2} \).
6. Объединим оба условия: \( x > -\frac{5}{2} \) и \( x < \frac{3}{2} \).
7. В результате получим интервал: \( -\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2} \).

Ответ: \( (-\frac{5}{2}; \frac{3}{2}) \).