8. (2 балла) Вычислите интеграл \( \int_{0}^{1} (6 + x) dx \)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{0}^{1} (6 + x) dx \) сначала найдём первообразную функции \( 6 + x \).

Первообразная от \( 6 \) равна \( 6x \).

Первообразная от \( x \) равна \( \frac{x^2}{2} \).

Таким образом, первообразная функции \( 6 + x \) равна \( F(x) = 6x + \frac{x^2}{2} \).

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ \int_{0}^{1} (6 + x) dx = \left[ 6x + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \]\[ = \left( 6 \cdot 1 + \frac{1^2}{2} \right) - \left( 6 \cdot 0 + \frac{0^2}{2} \right) \]\[ = \left( 6 + \frac{1}{2} \right) - (0 + 0) \]\[ = 6 + 0,5 \]\[ = 6,5 \]