8. (1 балл) Найдите корень уравнения $$ \log_5 (-16 - 5x) + \log_5 8 = \log_5 72 $$

Решение:

Используем свойство логарифмов \( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \):

\[ \log_5 ((-16 - 5x) \cdot 8) = \log_5 72 \]

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

\[ (-16 - 5x) \cdot 8 = 72 \]

\[ -128 - 40x = 72 \]

\[ -40x = 72 + 128 \]

\[ -40x = 200 \]

\[ x = \frac{200}{-40} = -5 \]

Проверим область допустимых значений: \( -16 - 5x > 0 \). При \( x = -5 \): \( -16 - 5(-5) = -16 + 25 = 9 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: -5