5. (1 балл) В автопарке две категории машин: легковые (70%) и лёгкие коммерческие (30%). Вероятность отказа топливного насоса в течение года: для легковых — 0,05, для коммерческих — 0,12. Один из автомобилей попал в ремонт по причине отказа насоса. Какова вероятность, что это лёгкая коммерческая машина?

Решение:

Обозначим события:

• Л — автомобиль легковой.
• К — автомобиль коммерческий.
• О — отказ топливного насоса.

Из условия задачи имеем:

• \( P(Л) = 0.7 \)
• \( P(К) = 0.3 \)
• \( P(О|Л) = 0.05 \)
• \( P(О|К) = 0.12 \)

Нам нужно найти вероятность того, что автомобиль коммерческий, при условии, что произошел отказ насоса, то есть \( P(К|О) \). Используем формулу Байеса:

\[ P(K|O) = \frac{P(O|K) \cdot P(K)}{P(O)} \]

Сначала найдем полную вероятность отказа насоса \( P(O) \) по формуле полной вероятности:

\[ P(O) = P(O|Л) \cdot P(Л) + P(O|K) \cdot P(K) \]

\[ P(O) = 0.05 \cdot 0.7 + 0.12 \cdot 0.3 = 0.035 + 0.036 = 0.071 \]

Теперь подставим в формулу Байеса:

\[ P(K|O) = \frac{0.12 \cdot 0.3}{0.071} = \frac{0.036}{0.071} \approx 0.507 \]

Ответ: \( \approx 0.507 \)