750. Докажите, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то AB = CD.

Обозначим радиус-векторы точек A, B, C, D через \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\).

Если \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), то

\[\vec b-\vec a=\vec d-\vec c.\]

Отсюда \(\vec a+\vec d=\vec b+\vec c\), поэтому

\[\frac{\vec a+\vec d}{2}=\frac{\vec b+\vec c}{2}.\]

Левая часть — радиус-вектор середины AD, правая — радиус-вектор середины BC. Следовательно, середины совпадают.

Обратно, если середины совпадают, то

\[\frac{\vec a+\vec d}{2}=\frac{\vec b+\vec c}{2},\]

значит, \(\vec b-\vec a=\vec d-\vec c\), то есть \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).

Ответ: оба утверждения доказаны.