746. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A равно 12 см, AB = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины всех сторон BD, CD и AC.

Так как трапеция прямоугольная, то \(AB \perp AD\), а также \(AB \perp BC\). Следовательно, \(ABCD\) имеет высоту \(AB=5\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\). Угол \(D=45^\circ\), поэтому второй острый угол также равен \(45^\circ\). Значит, треугольник равнобедренный прямоугольный, и его катеты равны:

\(CD=AD=12\) см.

По теореме Пифагора:

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+12^2}=12\sqrt{2}\) см.

Для нахождения \(BD\) рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \(AB=5\) см и \(AD=12\) см:

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\) см.

Ответ: \(BD=13\) см, \(CD=12\) см, \(AC=12\sqrt{2}\) см.