7. Вычислите: \( \frac{6^{12}}{2^{9} \cdot 3^{11}} \)

Решение:

Для вычисления значения выражения преобразуем числитель, используя свойства степеней.

1. Представим \( 6^{12} \) как \( (2 \cdot 3)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{2^{12} \cdot 3^{12}}{2^9 \cdot 3^{11}} \).
3. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
   \( \frac{2^{12}}{2^9} = 2^{12-9} = 2^3 \)
   \( \frac{3^{12}}{3^{11}} = 3^{12-11} = 3^1 \).
4. Таким образом, выражение равно: \( 2^3 \cdot 3^1 \).
5. Вычисляем: \( 8 \cdot 3 = 24 \).

Ответ: 24