5. Решите уравнение 6cos²x + cosx - 1 = 0

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \cos x \). Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), то \( -1 \le y \le 1 \).

1. Уравнение примет вид: \( 6y^2 + y - 1 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта: \( D = 1^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25 \).
3. \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
4. \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \).
5. Оба значения \( y_1 = \frac{1}{3} \) и \( y_2 = -\frac{1}{2} \) удовлетворяют условию \( -1 \le y \le 1 \).
6. Решаем \( \cos x = \frac{1}{3} \). Общее решение: \( x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi k \), где \( k \in ℤ \).
7. Решаем \( \cos x = -\frac{1}{2} \). Общее решение: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in ℤ \).

Ответ: \( x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi k \), \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \in ℤ \)