7. Случайная величина Х имеет математическое ожидание E(X) = 1 и дисперсию D(X) = 0,04. Оцените вероятность события Х > 1,5. Сравните полученный результат с результатом упраж-

Решение:

Используем неравенство Чебышёва:

\( P(|X - E(X)| \ge k \sqrt{D(X)}) \le \frac{1}{k^2} \)

Нам нужно оценить \( P(X > 1,5) \).

Известно: \( E(X) = 1 \), \( D(X) = 0,04 \).

\( \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,04} = 0,2 \).

Рассмотрим событие \( X > 1,5 \). Это можно записать как \( X - E(X) > 1,5 - 1 \), то есть \( X - 1 > 0,5 \).

Мы хотим оценить \( P(X - 1 > 0,5) \).

Неравенство Чебышёва даёт оценку для \( P(|X - E(X)| \ge c) \).

Чтобы применить неравенство, нам нужно найти \( k \) такое, что \( k \sqrt{D(X)} = 0,5 \).

\( k \cdot 0,2 = 0,5 \) \(\Rightarrow\) \( k = \frac{0,5}{0,2} = 2,5 \).

Тогда по неравенству Чебышёва:

\( P(|X - 1| \ge 0,5) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{2,5^2} = \frac{1}{6,25} = 0,16 \).

Событие \( |X - 1| \ge 0,5 \) означает \( X - 1 \ge 0,5 \) или \( X - 1 \le -0,5 \), то есть \( X \ge 1,5 \) или \( X \le 0,5 \).

\( P(X \ge 1,5 \text{ или } X \le 0,5) \le 0,16 \).

Так как \( P(X \ge 1,5 \text{ или } X \le 0,5) = P(X \ge 1,5) + P(X \le 0,5) \) (при условии, что эти события не пересекаются, что верно для большинства распределений), то \( P(X \ge 1,5) \le P(X \ge 1,5 \text{ или } X \le 0,5) \le 0,16 \).

Ответ: По неравенству Чебышёва, вероятность события \( X > 1,5 \) оценивается как \( P(X > 1,5) \le 0,16 \).