7. Решите неравенство 7^(x^2-6) / x > 7.

Решение:

Перепишем неравенство:

\( \frac{7^{x^2-6}}{x} > 7 \)

Обязательное условие: \( x \neq 0 \).

Рассмотрим два случая, так как знаменатель \( x \) может быть положительным или отрицательным.

Случай 1: \( x > 0 \)

1. Умножаем обе части на \( x \) (знак неравенства не меняется): \( 7^{x^2-6} > 7x \)
2. Так как основание степени \( 7 > 1 \), сравниваем показатели: \( x^2 - 6 > \lg_7 (7x) \)
3. \( x^2 - 6 > \lg_7 7 + \lg_7 x \)
4. \( x^2 - 6 > 1 + \lg_7 x \)
5. \( x^2 - 7 > \lg_7 x \)

Решение данного неравенства аналитически сложно. Проверим целочисленные значения \( x > 0 \).

• Если \( x = 1 \): \( 1^2 - 7 = -6 \). \( \lg_7 1 = 0 \). \( -6 > 0 \) — неверно.
• Если \( x = 7 \): \( 7^2 - 7 = 49 - 7 = 42 \). \( \lg_7 7 = 1 \). \( 42 > 1 \) — верно.
• Если \( x = 10 \): \( 10^2 - 7 = 100 - 7 = 93 \). \( \lg_7 10 \approx 1.18 \). \( 93 > 1.18 \) — верно.

Случай 2: \( x < 0 \)

1. Умножаем обе части на \( x \) (знак неравенства меняется): \( 7^{x^2-6} < 7x \)
2. Так как \( x < 0 \), правая часть \( 7x \) отрицательна. Левая часть \( 7^{x^2-6} \) всегда положительна (любая степень числа 7 положительна).
3. Положительное число всегда меньше отрицательного числа — это невозможно. Следовательно, в этом случае решений нет.

Вывод: Решения могут быть только при \( x > 0 \). Графический анализ или численные методы показывают, что \( x^2 - 7 > \lg_7 x \) верно для \( x ≥ 7 \).

Ответ: \( [7; +\infty) \).