5. Найдите значение выражения arctg (√3 ctg (−π/3)).

Решение:

Сначала вычислим значение \( \ctg(-\frac{\pi}{3}) \). Тангенс и котангенс — нечётные функции, поэтому \( \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) \).

1. \( \ctg(-\frac{\pi}{3}) = -\ctg(\frac{\pi}{3}) \).
2. Значение \( \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
3. Тогда \( \ctg(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).
4. Теперь подставим это значение в исходное выражение: \( \operatorname{arctg} (\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})) \).
5. Упростим: \( \operatorname{arctg} (-1) \).
6. Арктангенс от -1 равен \(-\frac{\pi}{4}\), так как \( \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1 \).

Ответ: −π/4.