10. Высота прямого параллелепипеда равна 6, а его диагонали составляют с плоскостью основания углы 45° и 30°. Угол между диагоналями основания параллелепипеда равен 30°. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Пусть \( H = 6 \) — высота параллелепипеда. Пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали параллелепипеда. Пусть \( d_{o1} \) и \( d_{o2} \) — диагонали основания.

По условию, углы, которые диагонали параллелепипеда составляют с плоскостью основания, равны 45° и 30°. Это означает:

\[ \operatorname{tg} 45^{\circ} = \frac{H}{d_{o1}} \quad \text{и} \quad \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{H}{d_{o2}} \]

Отсюда найдём длины диагоналей основания:

\[ d_{o1} = \frac{H}{\operatorname{tg} 45^{\circ}} = \frac{6}{1} = 6 \]
\[ d_{o2} = \frac{H}{\operatorname{tg} 30^{\circ}} = \frac{6}{1/\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \]

Площадь основания параллелограмма можно найти по формуле, зная диагонали и угол между ними:

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} d_{o1} d_{o2} \sin \alpha \]

Где \( \alpha = 30^{\circ} \) — угол между диагоналями основания.

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sin 30^{\circ} \]\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 9\sqrt{3} \] (единиц площади).

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

\[ V = S_{осн} \cdot H \]
\[ V = 9\sqrt{3} \cdot 6 = 54\sqrt{3} \] (кубических единиц).

Ответ: $$54\sqrt{3}$$.