6. Высота конуса равна половине образующей конуса. Найдите объём и площадь поверхности конуса, если радиус его основания равен 10 см.

Решение:

Обозначим высоту конуса как \( h \), образующую как \( l \), а радиус основания как \( r \).

По условию:

• \( r = 10 \) см
• \( h = \frac{1}{2} l \)

Связь между радиусом, высотой и образующей конуса описывается теоремой Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).

1. Подставим \( h = \frac{1}{2} l \) в уравнение: \( l^2 = r^2 + (\frac{1}{2} l)^2 \)
2. \( l^2 = r^2 + \frac{1}{4} l^2 \)
3. \( l^2 - \frac{1}{4} l^2 = r^2 \)
4. \( \frac{3}{4} l^2 = r^2 \)
5. \( l^2 = \frac{4}{3} r^2 \)
6. \( l = \sqrt{\frac{4}{3} r^2} = \frac{2r}{\sqrt{3}} \)
7. Теперь найдём \( h \): \( h = \frac{1}{2} l = \frac{1}{2} \cdot \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{r}{\sqrt{3}} \)
8. Подставим значение \( r = 10 \) см: \( h = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.
9. Объём конуса (V): \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
10. \( V = \frac{1}{3} \pi (10)^2 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{1000\sqrt{3}}{9} \pi \) см³.
11. Площадь поверхности конуса (S): \( S = \pi r^2 + \pi r l \)
12. Найдем \( l \): \( l = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) см.
13. \( S = \pi (10)^2 + \pi \cdot 10 \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = 100\pi + \frac{200\sqrt{3}}{3} \pi = \pi (100 + \frac{200\sqrt{3}}{3}) \) см².

Ответ: Объём конуса равен \( \frac{1000\sqrt{3}}{9} \pi \) см³, площадь поверхности равна \( \pi (100 + \frac{200\sqrt{3}}{3}) \) см².