7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ – 3x² – 9x – 4 на отрезке [-4; 4].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 3x^2 - 6x - 9 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \).
3. Разделим на 3: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение: \( (x-3)(x+1) = 0 \). Критические точки: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).
5. Обе критические точки \( -1 \) и \( 3 \) принадлежат отрезку \( [-4; 4] \).
6. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
• \( y(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) - 4 = -64 - 3(16) + 36 - 4 = -64 - 48 + 36 - 4 = -80 \).
• \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 4 = -1 - 3(1) + 9 - 4 = -1 - 3 + 9 - 4 = 1 \).
• \( y(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) - 4 = 27 - 3(9) - 27 - 4 = 27 - 27 - 27 - 4 = -31 \).
• \( y(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) - 4 = 64 - 3(16) - 36 - 4 = 64 - 48 - 36 - 4 = 16 - 36 - 4 = -20 - 4 = -24 \).
7. Сравним полученные значения: -80, 1, -31, -24.
8. Наибольшее значение равно 1 (при \( x = -1 \)).
9. Наименьшее значение равно -80 (при \( x = -4 \)).

Ответ: Наибольшее значение — 1, наименьшее значение — -80.